polynômes de Hermite: calcul avec sympy et tracé avec matplotlib

Avec
$$\phi(x)=e^{-\cfrac {x^2} 2}$$
 on pose
 $$P_n(x)=\cfrac {(-1)^n} {n!} e^{\cfrac {x^2} 2} \phi^{(n)} (x)$$

pour calculer facilement ces polynômes, si l'on n'a pas l'expression de leurs coefficients, on peut dériver plusieurs fois formellement, et sympy s'impose:

from sympy import symbols, diff, exp, factorial, simplify, expand
import sympy as sp

def phi(x):
  return(exp(-x**2/2))

X = sp.symbols('X')

def hermite(n):
  P = (-1)**n/factorial(n)*exp(X**2/2)*diff(phi(X),X,n)
  return(expand(simplify(P)))


on obtient par exemple:

print([(n,hermite(n)) for n in range(5)])
>>> [(0, 1), (1, X), (2, X**2/2 - 1/2), (3, X**3/6 - X/2), (4, X**4/24 - X**2/4 + 1/8)]

d'où
$$P_4 = \cfrac {X^4} {24} - \cfrac {X^2} 4 + \cfrac 1 8$$

 Pour le tracé, utilisons matplotlib, plus souple (*).

Le code python est ici: polynomes_hermite.py
Le tracé:

Note: si on veut faire cohabiter sans problème sympy et matplotlib, il faut les importer avec précautions, pas tout d'un bloc:

from sympy import symbols, diff, exp, factorial, simplify, expand
import sympy as sp

import numpy as numpy
import matplotlib.pyplot as pyplot

(*) par exemple, je ne sais toujours pas ajouter des textes dans les graphiques tracés avec le plot de sympy (à part le titre du graphique).